Cos'è spazio vettoriale?

Uno spazio vettoriale è un insieme di vettori su un dato campo, su cui sono definite due operazioni: l'addizione tra vettori e la moltiplicazione di uno scalare per un vettore. Le operazioni devono soddisfare alcune proprietà, come l'associatività e la commutatività dell'addizione, la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione e la compatibilità dell'addizione con il prodotto per scalare.

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono chiamati vettori e possono essere rappresentati come tuple di numeri o come funzioni. Ad esempio, nello spazio vettoriale (\mathbb{R}^3) i vettori sono triple ordinate di numeri reali, mentre nello spazio vettoriale delle funzioni continue i vettori sono funzioni con determinate proprietà.

Un importante concetto nello studio degli spazi vettoriali è la base. Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano tutti gli altri vettori dello spazio. Ogni vettore nello spazio vettoriale può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base in modo unico. La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori nella sua base.

Un altro concetto fondamentale è quello della dimensione. In uno spazio vettoriale di dimensione finita, tutti i vettori possono essere rappresentati come combinazione lineare di una base finita di vettori. In uno spazio vettoriale di dimensione infinita, la rappresentazione dei vettori come combinazione lineare può richiedere una base infinita o almeno un numero infinito di vettori.

Gli spazi vettoriali trovano applicazione in diverse aree della matematica e della fisica, come l'algebra lineare, la geometria, l'analisi funzionale e la meccanica quantistica. La nozione di spazio vettoriale è un concetto centrale nella teoria degli spazi di Hilbert, che fornisce uno strumento matematico essenziale per la descrizione di sistemi fisici quantistici.