Cos'è spazio vettoriale?

Spazio Vettoriale

Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica fondamentale in matematica, composta da un insieme di elementi chiamati vettori, su cui sono definite due operazioni:

• Addizione di vettori: dati due vettori u e v nello spazio vettoriale, la loro somma u + v è anch'essa un vettore nello spazio vettoriale.
• Moltiplicazione per uno scalare: dato un vettore v nello spazio vettoriale e uno scalare c (un numero appartenente ad un campo, solitamente i numeri reali o complessi), il prodotto c v è anch'esso un vettore nello spazio vettoriale.

Queste operazioni devono soddisfare un insieme di assiomi, che garantiscono la consistenza della struttura.

Assiomi di uno Spazio Vettoriale

Gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale V su un campo K sono:

1. Chiusura rispetto all'addizione: per ogni u, v ∈ V, u + v ∈ V.
2. Associatività dell'addizione: per ogni u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w).
3. Esistenza dell'elemento neutro per l'addizione: esiste un vettore 0 ∈ V tale che per ogni u ∈ V, u + 0 = u. Il vettore 0 è chiamato vettore nullo.
4. Esistenza dell'opposto per l'addizione: per ogni u ∈ V, esiste un vettore -u ∈ V tale che u + (-u) = 0. Il vettore -u è chiamato opposto di u.
5. Commutatività dell'addizione: per ogni u, v ∈ V, u + v = v + u.
6. Chiusura rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: per ogni c ∈ K e u ∈ V, c u ∈ V.
7. Distributività della moltiplicazione per uno scalare rispetto all'addizione di vettori: per ogni c ∈ K e u, v ∈ V, c (u + v) = c u + c v.
8. Distributività della moltiplicazione per uno scalare rispetto all'addizione di scalari: per ogni c, d ∈ K e u ∈ V, (c + d) u = c u + d u.
9. Associatività della moltiplicazione per uno scalare: per ogni c, d ∈ K e u ∈ V, c (d u) = (c d) u.
10. Esistenza dell'elemento neutro per la moltiplicazione per uno scalare: esiste l'unità 1 ∈ K tale che per ogni u ∈ V, 1 u = u.

Esempi

• Rⁿ: L'insieme delle n-uple ordinate di numeri reali, con l'addizione e la moltiplicazione per uno scalare definite componente per componente.
• Cⁿ: L'insieme delle n-uple ordinate di numeri complessi, con l'addizione e la moltiplicazione per uno scalare definite componente per componente.
• Spazi di funzioni: Insiemi di funzioni con opportune proprietà, come le funzioni continue definite su un intervallo, con l'addizione di funzioni e la moltiplicazione per uno scalare definite puntualmente.
• Matrici: Insieme delle matrici m x n con elementi in un campo K, con l'addizione di matrici e la moltiplicazione per uno scalare definite come usuale.

Concetti Importanti

• Sottospazio Vettoriale: Un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che è anch'esso uno spazio vettoriale rispetto alle stesse operazioni.
• Combinazione Lineare: Un'espressione della forma c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n, dove i c_i sono scalari e i v_i sono vettori.
• Indipendenza Lineare: Un insieme di vettori è linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare di essi che dà il vettore nullo è quella in cui tutti gli scalari sono zero.
• Base: Un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l'intero spazio vettoriale.
• Dimensione: Il numero di vettori in una base per lo spazio vettoriale.
• Prodotto Scalare: Un'operazione che associa a due vettori uno scalare, spesso utilizzato per definire concetti geometrici come lunghezza e angolo.
• Trasformazione Lineare: Una funzione tra spazi vettoriali che preserva le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare.

Gli spazi vettoriali sono un concetto fondamentale in algebra lineare e hanno applicazioni in molte aree della matematica, della fisica, dell'ingegneria e dell'informatica.